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C’est quoi un modèle? – Partie 2

a première partie de cette série était consacrée à la création d’un simple modèle de population, dans lequel une bactérie consommait des ressources. La nature est bien plus complexe, et aujourd’hui nous allons voir comment intégrer des relations avec les voisins. Nous entrons donc dans la …

Partie 2 : Où l’on doit supporter ses voisins

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Partie 2 : Où l’on doit supporter ses voisins

Pour reprendre les choses ou on les avait laissé la dernière fois, on veut exprimer que la croissance et la décroissance de notre population dépend de ce qui nous entoure. Nous allons utiliser un modèle de population qui est une star dans son genre : un modèle du type de Lotka & Volterra. Attention, pendant quelques lignes, je vais être assez crû.

Dans ce modèle, on ne considère pas explicitement de mortalité (on verra dans la partie 3 ce qu’il en est). Plutôt, on essaie de formuler la croissance d’une population.

Et ça s’écrit très simplement :

\frac{dN}{dt} = \gamma N \left( \frac{K - N}{K} \right)

Gné? C’est tout simple : notre population N a un taux de croissance \gamma. Mais ce taux de croissance est modifié par le « chemin » que la population a déjà parcouru en terme de remplissage de l’environnement. Le niveau de remplissage maximum (aussi appelé capacité biotique ou capacité de support) est justement K.

Maintenant, comment on ajoute les voisins? C’est simple, on va considérer que nos voisins emplissent le même habitat que nous, et que la vitesse à laquelle on remplit cet habitat est modifiée par la partie de l’habitat déjà remplie (soit, plus on est de fous, moins y’a de riz).

On peut considérer que nos voisins remplissent à la même vitesse que nous (notre \gamma est le même que le leur), et surtout qu’ils prennent la même place. On va donc pouvoir écrire :

\frac{dN_i}{dt} = \gamma N_i \left( \frac{K - \sum_{n=1}^{P}N_n}{K} \right)

Autrement dit, la population i peut encore remplir tout ce qui n’a pas été rempli auparavant par les autres voisins, soit de manière un peu plus mathématique \frac{K - \sum_{n=1}^{P}N_n}{K}.

A ce stade, il est nécessaire de préciser quelque chose : on va considérer, pour toute cette partie, que \gamma est égal pour toutes les populations (autrement dit, on pousse à la même vitesse). On verra dans la partie 4 ce qui arrive quand \gamma est spécifique à une population.

Maintenant, un peu de réalisme. Nos voisins ne prennent pas tout à fait la même place que nous. On va donc, pour chaque population j de voisins, qui a un effectif N_j, trouver une valeur \beta_{ij} qui indique dans quelle mesure ils nous gênent en prenant notre espace.

Si \beta_{ij} = 1, ils prennent la même place que nous; si \beta_{ij} < 1 ils prennent moins de place que nous; enfin, si \beta_{ij} > 1, ils essaient de nous virer en prenant notre place. Pour faire simple, disons que pour des valeurs de coefficient de compétition (le petit nom de \beta_{ij}) inférieures à 1, nos voisins nous aident.

Il faut maintenant réécrire l’équation qu’on a trouvé quelques lignes plus haut, mais c’est relativement straigthforward (évident!) comme on dit par chez nous.

\frac{dN_i}{dt} = \gamma N_i \left( \frac{K - \sum_{n=1}^{P}\left(\beta_{in}N_n\right)}{K} \right)

Et voilà! Avec ce petit modèle tout simple, on peut prévoir, si on prend plusieurs souches d’une bactérie (par exemple) et qu’on les met dans le même environnement, la population finale une fois qu’on aura atteint le plateau. Trop simple pour être vrai?

Pour vous montrer que non (enfin non, parce que j’en avais besoin, mais c’est synchro avec la rédaction de ce billet alors…) j’ai fait une petite expérience, qui a consisté à mettre en culture soit 1, soit 2, soit 5, soit 10 populations de bactéries, et j’ai regardé après 24 heures la taille totale de notre communauté.

Ensuite, j’ai tiré au hasard dans une distribution de Poisson (une loi statistique qui décrit bien beaucoup de données biologiques) des taux de compétition, incluant de la favorisation (des voisins qui nous aident).

Le résultat est présenté juste ici :

legende

Comparaison des "vrais" résultats (en rouge) et de deux simulations : une (en noir) avec tous les types de voisins, et une autre (en gris) avec uniquement des voisins en compétition.

Comme vous le voyez, notre petit modèle colle plutôt pas mal aux données (les unités sont arbitraires parce que j’ai ramené les résultats du labo à la même échelle que ceux du modèle). La ligne grise est juste là pour montrer que le type d’entourage qu’on a est important dans la taille de la population.

Pour conclure cette deuxième partie : on a vu comment ajouter différentes populations dans un système simple, et surtout, comment par un petit paramètre, déterminer si ces populations étaient plutôt altruistes ou plutôt pas. Et surtout, on a vu que ce modèle n’était pas juste un petit jeu de l’esprit (enfin… presque) puisqu’il donnait les mêmes résultats qu’une vraie manip, faite en blouse avec  des gants. Je vous laisse une petite semaine pour vous remettre de tant d’émotions, et on se retrouve dès que j’ai un peu de temps pour passer à la partie trois (dans laquelle nos petites populations vont prendre cher, mais alors super cher).

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Timothée