Billets Non classé

C’est quoi un modèle? – Partie 1

En venant sur ce blog, vous avez probablement déjà remarqué que plutôt que de me plonger dans des heures de lectures fastidieuses pour trouver de « vraies»  données sur quelque chose dont je veux vous parler, je préfère me lancer dans l’écriture de formules terrifiantes, pleines de symboles ésotériques et de lettres grecques. Et vous vous […]

En venant sur ce blog, vous avez probablement déjà remarqué que plutôt que de me plonger dans des heures de lectures fastidieuses pour trouver de « vraies»  données sur quelque chose dont je veux vous parler, je préfère me lancer dans l’écriture de formules terrifiantes, pleines de symboles ésotériques et de lettres grecques. Et vous vous êtes déjà sans doute demandé ce que c’est.

C’est simple. Ce sont de petits modèles qui montrent comment une population croît, ou décroît. Et l’objectif de cette série de billets sera de vous montrer comment ça fonctionne, en gros. Et surtout, de montrer comment étape par étape on construit un petit jouet bien amusant.

Je vais procéder en trois étapes, qui feront toutes les trois l’objet d’un billet

  1. Partie 1 : Où l’on peut faire simple
  2. Partie 2 : Où l’on doit supporter ses voisins
  3. Partie 3 : Où tout finit autour d’une bonne bouffe
  4. Partie 4 : Où, apparemment, on est en compétition

Vous l’aurez lu entre les lignes, nous allons commencer par introduire la structure de base d’un modèle, puis nous allons complexifier un peu la chose en ajoutant de la compétition, puis des prédateurs, puis finalement un doux mélange des deux.

Partie 1 : Où l’on peut faire simple

Parce que non, équation ne veut pas dire truc incompréhensible. La preuve, nous allons écrire notre premier modèle de population :

\frac{dP}{dt}=P\cdot\left(\gamma-\mu\right)

C’est tout? Ben oui! Réfléchissons un peu à ce qui forme la démographie d’une population P. On a d’un côté ce qui cause la croissance (en anglais growth, d’ou \gamma), et la mortalité (en anglais mortality, d’ou \mu). Pour écrire ça de manière un peu formelle, on dit que la croissance de la population (dP) par unité de temps (dt) est la croissance moins la mortalité, rapportée au nombre d’unités de population (P). On parle de croissance per capita.

En faisant un peu de maths, et c’est le plus difficile que je vous demanderai, on voit même que la population est stable si

\mu = \gamma

soit si la croissance est égale à la mortalité. Rien que de très intuitif.

Du coup, je le sens, vous êtes déçus, et vous vous demandez pourquoi tout ce foin autour de quelque chose d’aussi trivial. Venons-en aux subtilités. Pour des raisons de présentation, j’ai noté \gamma la croissance et \mu la mortalité. Rien ne nous empêche de considérer que ces deux termes ne sont pas des constantes, mais par exemple des fonctions du temps, ou de la quantité de ressources disponibles!

Imaginons un modèle de croissance bactérien simple, qui s’écrirait de la manière suivante:

\frac{dB}{dt}=\delta\frac{R}{R+K}B-\alpha\left(1-\frac{R}{R+K}\right)B

On peut identifier les termes de croissance (modèle de Monod) et de mortalité, et écrire

\gamma(R) = \delta\frac{R}{R+K}

\mu(R) = \alpha\left(1-\frac{R}{R+K}\right)

On a donc une croissance et une mortalité qui sont dépendantes de la quantité de ressources! Si on part avec une quantité de ressources fixées qu’il faut consommer, en trois secondes de programmation, on arrive à voir que notre modèle nous donne le résultat ci-dessous :

Résultat du premier modèle

Résultat du premier modèle : La population de bactéries croît jusqu'à avoir épuisé les ressources, puis décroît à partir de ce point. Félicitations, c'est un modèle de population!

Vous voyez, ce n’est rien de bien insurmontable! Si ce n’est qu’il fallait ajouter la vitesse à laquelle les ressources se font consommer, soit tout simplement

\frac{dR}{dt} = -\varepsilon\frac{R}{R+K}B

Pour entrer dans une interprétation un peu biologique de ce modèle, on peut dire que \varepsilon est le taux de conversion des ressources, et \delta la capacité métabolique des bactéries (autrement dit, combien d’unité de population P on fait avec une unité R de ressources).

Voilà qui conclut notre première partie : nous avons vu qu’un modèle de population, c’est ce qui explique la croissance moins la mortalité, et montré que ces deux paramètres pouvaient être des fonctions de différentes choses, en illustrant avec la dynamique de croissance de bactéries. Notre prochain billet sera consacré à la modélisation des effets d’un voisinage plus ou moins encombrant…

Tags:

Billets similaires

À propos de l'auteur

Timothée