Le concept de dimension n’a l’air de rien quand on le découvre au lycée: un espace à une dimension est un axe tout simplement, à deux dimensions c’est une surface plane, en trois dimensions on ajoute la notion de profondeur. On n’arrive pas bien à se représenter quatre dimensions, mais mathématiquement ça n’est jamais qu’un monde où les vecteurs ont quatre coordonnées au lieu de trois, et ainsi de suite. Mais derrière leur similitude de façade, ces différents mondes imbriqués les uns dans les autres comme des poupées russes exhibent parfois des particularités mathématiques très déroutantes… Le cochonnet géant Commençons par balayer quelques idées préconçues sur la taille des objets. Prenez un carré de côté 4 et tracez à l’intérieur quatre cercles de diamètre 1 tangents entre eux et aux bords du carré. Au centre il reste un peu de place pour dessiner un petit cercle (en bleu), tangent aux quatre cercles voisins. Vous pouvez imaginer le même montage en dimension 3, avec quatre boules de pétanques rangées dans une boite cubique et un cochonnet au milieu: Que se passe-t-il dans un hypercube de dimension n rempli d’hypersphères? Ne vous faites pas une entorse du cerveau en essayant de le dessiner, [...]
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