PART 2 Les mystères du monde continu Je vous ai montré dans le billet précédent pourquoi en mélangeant de façon très méthodique d’une image (j’étale dans un sens, je replie et je recommence) on revient tôt ou tard à la l’image initiale. Cet éternel recommencement est un privilège réservé aux images numériques.  Evidemment me direz-vous, il est matériellement impossible de réaliser et de répéter une telle transformation avec une précision parfaite. Mais je vais vous montrer que même si on savait le faire, on ne retrouverait jamais l’image de départ. Plus fort encore: jamais le mélange ne produirait deux fois la même image! Pétrissage décimal Pour vous le montrer simplement, je vais modifier légèrement la méthode de pétrissage: le boulanger étire son carré de 10 fois sa longueur initiale (au lieu de deux) et il coupe les neuf morceaux qui dépassent afin de retrouver la  forme initiale du carré une fois empilés. C’est un peu plus compliqué à première vue mais vous allez vite comprendre pourquoi ça simplifie les calculs… Supposons que notre carré ait une longueur 1 de côté et divisons le verticalement en 10 bandes de largeur 0,1 chacune. Le point en rouge de coordonnées (0.375;0.405) est situé dans [...]
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Quelle différence faites-vous entre l’infini et le « très très grand »? Comment vous représentez-vous l’ensemble des nombres rationnels contenus dans l’intervalle [0,1]? Bon, je ne vous sens pas franchement emballés par mes questions métaphysiques, mais ne zappez pas tout de suite! Pour y répondre, je vous propose un phénomène bluffant qui non seulement prend vos intuitions à contre-pied, mais qui illustre également la différence qualitative entre fini et infini, discret et continu. Et si au pire vous n’y comprenez rien, l’effet spectaculaire en vaut la peine, promis! PART1: quelle différence entre fini et infini? Pour bien mélanger son pétrin, le boulanger prend un carré de pâte, l’étire dans un sens puis le replie pour retomber sur son carré initial et il recommence: il étire puis replie pendant une bonne demi-heure (ça muscle!): Si au lieu de faire ça avec une pâte à pain, on s’amuse à faire la même chose avec une image numérique, l’image se brouille très vite:Assez rapidement l’image se brouille… Evidemment, comme on ne peut pas étirer chaque pixel on a un tout petit peu triché: pour étirer une ligne, on est obligé d’interpénétrer chaque ligne paire avec la ligne impaire suivante avant de replier le tout. Les [...]
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