Le Bitcoin et la Blockchain

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La vidéo du jour décrypte les mystères du bitcoin, et vous explique vraiment comment il marche, et ce qu’est cette mystérieuse blockchain. Pour préparer cette vidéo, j’ai dû pas mal me documenter. J’ai trouvé beaucoup d’endroits où les grands principes du bitcoin sont expliqués, mais assez peu d’infos détaillées sur ce qu’il se passe vraiment […]
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Le problème de la courbe brachistochrone : le chemin le plus court n’est pas toujours le plus rapide !

quelle courbe est le plus rapide ?
Question : pour faire rouler une balle sur une rampe, quelle forme doit avoir cette rampe pour que la descente par simple gravité soit la plus rapide ? (On exclu les forces de frottements.) quelle courbe est le plus rapide ? On aurait tendance à dire que la rampe doit prendre une forme de ligne droite : c’est le chemin le plus court, donc intuitivement aussi le plus rapide. Un contre-exemple simple permet de montrer que ce n’est pas le cas. Regardons la trajectoire que je propose, en rouge ci-dessous : la ligne droite n’est pas la plus rapide Dans le cas de la ligne droite (en noir), la vitesse est acquise progressivement. En effet, l’énergie cinétique est obtenue par conversion de l’énergie potentielle de position grâce à la force de gravité. L’acquisition de vitesse dans ce cas là est donc progressive. La vitesse initiale $V_i$ est nulle. La vitesse maximale $V_{text{max}}$ est atteinte seulement à la fin. La vitesse moyenne sur le trajet est donc $frac{V_{text{max}}}{2}$ : la moitié de la vitesse maximale. Ce n’est pas mal, mais il y a mieux. Pour ma solution (courbe rouge), le raisonnement est le suivant.
Dès lors qu’on néglige les frottements, si le ballon est sur le plat, il conserve sa vitesse tant qu’il ne rencontre pas d’obstacles. L’idéal selon moi est donc d’acquérir toute la vitesse au départ : le trajet en entier est donc parcouru à la vitesse $V_{text{max}}$. La vitesse moyenne est égale à $V_{text{max}}$ et on arrive à destination deux fois plus vite. On peut pousser l’astuce encore plus loin en descendant la courbe à une altitude plus basse que le point d’arrivée. On parcourt alors l’essentiel du trajet à grande vitesse et ont finit par remonter à la fin. Cela fonctionnerait, mais il y a une limite. En effet, en plus de la durée du trajet, il faut tenir compte de la durée de descente et de remontée : durant ces phases, on n’avance pas. Si on choisit de tomber vraiment très bas pour avoir vraiment beaucoup de vitesse, il arrivera à un moment où la phase de chute prendra plus de temps que sur la ligne droite simple. Il y a nécessité de trouver un compromis : une courbe permettant de descendre assez vite pour prendre de la vitesse tout en avançant dans la direction du point d’arrivée pour ne pas perdre trop de temps. Ce problème de détermination de la courbe idéale pour le déplacement d’une masse le long d’une courbe est un problème mathématique célèbre appelé problème de la courbe brachistochrone (du grec brakhistos, « le plus court » et chronos, « temps »). Le problème a été étudié dès le XVIIe siècle par Jean Bernoulli, son frère Jacques (les Bernoulli étaient une grande famille de scientifiques : leur nom est très connu, mais ce n’est pas toujours à la même personne que l’on réfère) et même Isaac Newton. Sa solution de Jean Bernoulli (que je ne vais pas démontrer ici, mais vous pouvez la voir sur Wikipédia) est une courbe bien particulière : une cycloïde. La cycloïde est une courbe qui représente par exemple le trajet d’une valve de roue de vélo (attention, ne vous y méprenez pas : ce n’est pas un arc de cercle) : une cycloïde La courbe de cycloïde utilisée pour notre problème passe donc par le point d’arrivée et le point de départ. Le rayon de la cycloïde est déterminé à partir de la distance entre les deux points : cycloïde et ballon Il y a une infinité de possibilités de faire rouler le ballon entre le point de départ et d’arrivée, mais celle qui permet d’aller le plus rapidement est l’arc de cycloïde. Avec une animation :
i
(source)
Dans la réalité, bien-sûr, il faut tenir en compte des frottements (du ballon sur la route, résistance de l’air…) et ça devient un peu compliqué : en général, la forme générale de la courbe est la même, mais la pente est plus accentuée au début et un peu moins à la fin, afin de gagner un peu plus de vitesse au départ pour compenser les frottements sur tout le trajet. C’est dans tous les cas plus près d’une cycloïde que de toute autre courbe.

Conclusions

Je pense qu’il y a deux leçons à tirer de tout ça. Premièrement, celle écrite dans le titre : le chemin le plus court n’est pas toujours le chemin le plus rapide.
C’est tout bête, mais cette notion (j’y reviendrai dans d’autres articles) devient très intéressante quand on utilise la relativité d’Einstein où l’espace et le temps ne forment plus qu’un : l’espace-temps. On se retrouve alors à discuter de choses profondes telles que : « plus on va se déplace vite dans l’espace, plus on se déplace lentement dans le temps ». Et deuxièmement, on le voit sur la cycloïde : une partie de la courbe est située en dessous du point d’arrivé : la balle est descendue plus bas qu’elle ne devrait, simplement pour gagner de la vitesse et avoir assez d’élan pour pouvoir remonter rapidement. Je le vois comme un rappel qu’il faut parfois accepter de descendre un peu pour pouvoir remonter de plus belle.
Cette leçon est prouvée ici avec un ballon qui descend une pente, mais elle est applicable à bien des choses. Je vous laisse méditer par vous même. Continue reading

Un siècle commence t-il à 0 ou à 1 ?

une horloge celeste
une horloge celeste Il y a de vifs débats à ce sujet, mais historiquement il n’y a qu’une réponse valable : un siècle commence à 1.
Le siècle et le millénaire actuels on donc débutés en 2001, et non pas en l’an 2000. Pour comprendre d’où ça vient, il faut remonter à l’origine de notre calendrier. Ce calendrier a été fixé par l’Église à l’époque où elle était la référence en matière de… tout.
Aussi, notre calendrier n’a pas débuté le jour de la naissance de Jésus-Christ. En fait, durant un bon moment après sa naissance, les années n’étaient pas comptées car ce n’était pas ce qui importait. Pour l’Église, il fallait surtout savoir quand avaient lieues les fêtes annuelles telles que Pâques, qui étaient définies selon des cycles lunaires et saisonniers (ce qui posait de temps en temps quelques problèmes). Quand le Pape Jean 1er demandait un jour à Denys le Petit de calculer la date de pâques de l’année en cours, ce dernier se rendit compte qu’il pouvait étudier la bible et connaître la naissance du christ, et donc en déduire quand ça avait eu lieu.
Après quelques recherches et calculs (sans internet et sans calculatrice) il arrive à la conclusion qu’il se trouvait en l’an 525 après la naissance de Jésus, qu’il décida de placer en l’an 1. On va arrêter ici pour l’histoire et passer sur les math : Denys le Petit a placé la naissance de Jésus en l’an 1, et non l’an 0. Ceci est très simple à expliquer : le nombre « 0 » n’avait pas encore été admis en occident (pire, les grecs et les romains le rejetaient car il était symbole du vide et du mal, chose évidemment reprise par l’église). D’ailleurs, les nombres se notaient encore en chiffres romains, exempt de zéro. Or, si notre calendrier commence en l’an 1 plutôt que l’an 0, ça signifie que tout est décalé. Imaginons qu’un enfant soit né le premier janvier de l’an 1. Son premier anniversaire — celui où il aura 1 an — aura lieu le premier jour de l’an 2. Ses 2 ans seront fêtés en l’an 3, ses 3 ans en l’an 4 et ainsi de suite. En l’an 99, il a alors 98 ans et en l’an 100 il ne n’a que 99 ans. Maintenant, imaginons que ce « enfant » soit un siècle. Or, un siècle, c’est 100 années et un siècle qui passe, c’est donc le passage de cent années.
Par définition, le siècle aura, de même que l’enfant, 99 ans en l’an 100. Pour que le siècle soit révolu il faut attendre le premier janvier de l’an 101 (date à partir de laquelle débute le second siècle). Le second siècle commence donc en l’an 101. Le troisième siècle commence en l’an 201, etc.
Le 19e siècle commence en l’an 1801, et le 20e siècle commence en l’an 1901. En tout logique donc, le 21e siècle commence en l’an 2001 (qui est également le début du 3e millénaire). Ceci n’a empêché personne de fêter le passage à l’an 2000, ou n’empêchera de fêter le passage de 2099 à 2100, mais ces dates ne sont pas le passage d’un siècle ou millénaire à un autre. C’est juste le passage d’un compteur rempli de « 9 » à un nombre rond, plus symbolique.

Références

  • Zero, the Biography of a Dangerous Idea, Charles Seife, ISBN 0-965-001423 (chapitre 2).
image de Daxis Continue reading

Photographie : le phénomène de repliement de spectre, ou l’illusion de la roue qui tourne en sens inverse

youtube screenshot helicopter aliasing
On a tous déjà vu ça : quand on filme une voiture, on a parfois l’impression que les roues tournent en sens inverse. Cette impression est présente en filmant n’importe quel objet en rotation, comme les pales de cet hélicoptère, qui semblent s’être arrêtés :
youtube screenshot helicopter aliasing
(Cliquez sur l’image pour ouvrir la vidéo sur Youtube)
Alors, hélicoptère anti-gravité ou vaisseau extra-terrestre ? Ce qui se passe ici est très purement mécanique : la caméra ne capture pas le mouvement dans son intégralité, mais elle prend des photos à intervalles réguliers qu’il met ensuite bout à bout. Généralement, elle prend 24 images par secondes. On dit que l’échantillonnage de la caméra se fait à 24 Hz. Chaque image est donc censée couvrir 1/24e de seconde dans la vidéo finale, soit 41 ms.
Ceci est nécessaire pour donner au cerveau l’illusion qu’une série de 24 photographies prises les une à la suite des autres constituent un mouvement fluide pendant 1 seconde. 41 millisecondes est une durée assez courte pour faire croire à notre cerveau qu’un mouvement est fluide, mais ça reste suffisamment long pour que les objets continuent de se déplacer. Ainsi, pour un hélicoptère dont les pales tournent à 500 tours par minutes, cet intervalle de temps permet à chaque pâle de faire le tiers d’un tour complet, ce qui est loin d’être négligeable. Il suffit alors que la vitesse de rotation de l’hélice soit une fraction exacte de la cadence de capture d’image de la caméra pour donner l’impression que les pales tournent étrangement. Pour comprendre, prenons la trotteuse d’une pendule, qui bouge toutes les secondes.
Imaginons que nous prenions une photo toutes les 59 secondes en commençant à minuit, soit à 00:00:00. Les photos seront donc prises aux horaires suivantes :
Image heure
1 00:00:59
2 00:01:58
3 00:02:57
4 00:03:56
5 00:04:55
Pour le moment il n’y a rien d’extra ordinaire, mais si on observe seulement les secondes, alors on a l’impression que la trotteuse recule : pendule Si on avait pris une photo toutes les 60 secondes, alors on aurait eu des photos où la trotteuse se trouvait toujours au même endroit (sur le 12).
Et si on avait pris une photo toutes les 15 secondes, alors on aurait eu des photos où la trotteuse serait uniquement sur le 12, 3, le 6 et le 9. Il se passe la même chose en filmant une roue qui tourne à une vitesse proche de la cadence de prise d’images de la caméra : les figures sur la roue (enjoliveurs, par exemple) prennent des positions spécifique sur chaque photo, qui donnent alors l’illusion de tourner à l’envers. Mathématiquement, cet effet est observé à chaque fois que deux phénomènes périodiques sont superposés : celui qui est observé (le mouvement de la roue) et celui qui observe (la cadence de capture d’images de la caméra). Les deux phénomènes périodiques n’étant pas en phase, il apparaît un décalage qui est ensuite mal interprété par le cerveau. On l’a vu sur des images avec l’hélicoptère ; on l’observe également en audio.
Sur le graphique suivant, le son à enregistrer (en rouge) a une fréquence de 9 Hz. L’enregistrement (en bleu) se fait à une cadence de 10 Hz :
sinus aliasing
(source)
Bien-sûr, les points de captures effectués tous les 0,1 s (en noir) sont présentes sur les deux courbes, mais le système de traitement logiciel ne saura reconstituer que la courbe rouge. Pour lui, les deux signaux (rouge et bleu) apparaissent de la même façon, et il ne garde par défaut que celle de plus basse fréquence, même si c’est la mauvaise. Le son aiguë apparaît donc grave, ce qui est à l’audio ce que la roue tournant en sens inversé est à l’image. Cette transformation des sons aiguës en son graves, c’est ce qu’on appelle le repliement du spectre : les hautes fréquences sont divisées et devienne des fréquences plus basses. Pour capturer convenablement un signal d’une fréquence donnée, l’échantillonnage doit se faire à une fréquence supérieure au double de celle du signal (théorème de Nyquist-Shannon). Pour l’enregistrement audio (en MP3, par exemple), on utilise en général une capture à 41 kHz, à 44,1 kHz ou 48 kHz, pour pouvoir inclure tout le spectre jusqu’à 20 kHz voire un peu plus, ce qui constitue la limite audible pour les humains. On enregistre donc bien à plus du double de la fréquence maximale qu’on veut enregistrer, et donc aussi de toutes les fréquences en dessous. Pour enregistrer convenablement 3 pales d’hélicoptère tournant à 500 tours/minute (8 tours par seconde), il faut une cadence de capture supérieure à $8times3times2 = 48$ images par seconde. En prenant une cadence de 50 FPS, alors on n’aura plus l’impression d’avoir des pales tournant dans le mauvais sens. Continue reading

La spirale d’Euler, ou le tracé des routes

une route
une route Vous ne vous êtes jamais posé la question sur l’origine du tracé d’une route ou d’un chemin de fer ? Le tracé d’une route est loin d’être une chose simple : si dans certains cas on se contente de routes parfaitement droites (c’est le cas si le relief le permet, comme c’est très souvent le cas en Hollande ou en Belgique), il faut généralement éviter les collines, vallées ou forêts, tout en minimisant la création de ponts et tunnels en faisant faire à la route des courbes et des virages. Dans ce qui suit on va prendre le cas précis de tracé d’une courbe de raccordement entre deux portions de ligne droite : relier deux routes entre elles Comment faut il relier ces deux routes ?
  • avec une ligne droite ?
  • avec un arc de cercle ?
  • avec une autre courbe ?
La ligne droite est définitivement exclue : si le but est de garder une circulation fluide et uniforme, on évite les routes parfaitement anguleuses nécessitant un ralentissement. La route en arc de cercle semble bien tentante ici. Pourtant, cette solution pose problème. En effet, dans une ligne droite, le volant est droit, dans sa position de « repos ». Dans une route en cercle, comme sur un rond-point, le volant est tourné vers la gauche d’un angle fixe dépendant du rayon de courbure du cercle.
Pour passer d’une ligne droite à une route circulaire, il faut passer d’un angle nul à un angle non nul de façon immédiate. Il en résulte un besoin de ralentir pour tourner et pour réduire la force centrifuge imposée brusquement au véhicule. La solution ici est d’utiliser un autre type courbe : il s’agit d’une courbure qui passe progressivement d’une ligne droite à un cercle.
De cette façon, pour prendre le virage, le volant n’aura pas besoin d’être braqué d’un coup mais progressivement. Par ailleurs, les passagers ne subiront pas de force centrifuge violente, mais une force appliquée de façon progressive là aussi linéairement, ce qui est tout de même beaucoup plus confortable. En pratique, roulant à allure fixe, il faudra tourner le volant avec une vitesse constante. Une courbe dont le rayon de courbure varie de fonction linéaire avec la position sur la courbe, se nomme la spirale d’Euler, également connue sous le nom de spirale de Cornu, ou Clothoïde. Le rayon de courbure d’une ligne droite est infinie : la ligne droite est considérée comme un cercle infiniment grand. Pour changer de direction, il faut donc diminuer ce rayon de courbure de façon progressive (et non brusque), de façon à avoir un tracé faiblement courbé au début et dont la courbure devient progressivement de plus en en plus importante :

Animation de la création d’une spirale d’Euler (source)
Bien-sûr, dans le cas d’une route, on ne pratique que les premiers pas de cette spirale, jamais la spirale entière.
La route doit également présenter une telle courbure dans les deux sens de circulation : ce que l’on fait, ce sont deux spirales d’Euler se rejoignant sur un cercle :
découpage géométrique d’une trajectoire d’une route en virage à 180°
(source)
D’un point de vue pratique, il faut tourner le volant progressivement et linéairement dans le sens du virage, puis arrêter de le tourner — on est alors sur une trajectoire purement circulaire — puis reprendre la rotation dans l’autre sens, à la même vitesse jusqu’à être enfin revenu au point de repos. La spirale d’Euler ne représente qu’une petite partie de la courbure, mais elle est des plus importantes car la transition se faire de façon progressive. Sur un chemin de fer, c’est grâce à la spirale d’Euler que le TGV peut prendre des virages à 300 km/h sans que vous vous en rendiez compte. Une force appliquée de façon progressive évite une usure prématurée à la fois des rails et des roues. Pour finir sur les routes, sachez que la spirale d’Euler n’est pas la seule utilisée. Pour les virages faiblement incurvés, les courbes elliptiques ou circulaires et les courbes de Bézier remplacent souvent la spirale d’Euler. Néanmoins, un virage tracé selon la spirale d’Euler est celui qui mathématiquement offre le meilleur confort et la plus grande facilité à prendre. Pour conclure sur la spirale d’Euler, sachez que la même propriété — le rayon de courbure croissant de façon constante, donc linéairement — a d’autres applications. On les retrouve dans le design des montagnes russes, dans la sidérurgie (pour donner forme à l’acier : la distorsion de l’acier doit se faire de façon progressive pour conserver sa performance mécanique) ainsi que la trajectoire des satellites, lorsque ces derniers doivent emprunter une orbite de transition entre deux altitudes différentes. Dans chacun de ces cas, les fonctions à la base de la spirale d’Euler sont utilisées. image de European Roads Continue reading

La révélation des fractales africaines

Encore une fois, nous allons parler d’architecture dans le prolongement de mes billets, Histoires de terre, humaine et naturelle et La terre crue, un matériau méconnu et délaissé. Sauf que la terre ne sera pas abordée. Ici, ce sont les fractales africaines nous intéresse. Pour rappel, une fractale est une figure morcelée caractérisée par la […]
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Le deep learning

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Vous entendez parler du deep learning, mais vous n’en avez pas encore compris la profondeur ? Cette vidéo est faite pour vous ! Fidèle à mon habitude, voici la liste des choses essentielles, mais pourtant éliminées par manque de place et pour rester accessible au plus grand nombre. L’apprentissage non-supervisé Ma vidéo laisse penser que […]
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Deux (deux ?) minutes pour l’hypothèse de Riemann

Elle m’a pris du temps, mais voici enfin une nouvelle petite vidéo où il est question du “problème mathématique le plus difficile du monde”.
Deux (deux ?) minutes pour… l’hypothèse de Riemann
Transcription + commentaires
En 1859, Bernhard Riemann […]
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