L’abstraction mathématique gravée dans le marbre

(Article original : L’abstraction mathématique gravée dans le marbre sur Pourquoi Comment Combien ) Urs Würgler, ancien recteur de l’Université de Berne et mathématicien est décédé il y a un an. Sur sa tombe, son épouse a fait graver la formule dont il était le plus fier.
Mais comme elle n’en connaissait pas la signification, j’ai été appelé à la rescousse. Ce fut l’occasion d’une intéressante plongée, ou plutôt ascension dans l’abstraction mathématique. (le TEXTE de cet article est publié sous licence Creative Commons CC-BY-NC-SA 3.0 Suisse par Dr. Goulu. Les images et illustrations ne sont PAS couvertes par cette licence et peuvent être soumises à Copyright.) Continue reading

La dimension 4, hypercube et compagnie

hyperspace
hyperspace C’est à partir de la discussion sur SCMB que j’avais envie de faire un petit article ici, à propos des objets en dimension 4.

C’est quoi une dimension au sens mathématique ?

La dimension d’un espace c’est le nombre de coordonnées qu’il faut pour repérer un point dans cet espace.
Ainsi, en dimension 1 (une demi droite donc) il suffit d’une seule coordonnée pour repérer un point de cette demi-droite par rapport à l’origine. Dans un plan, un point est repéré par deux coordonnées X et Y :
un plan cartésien XY
Un plan cartésien en XY (image)
Dans un espace en 3D, comme le monde dans lequel on vit, il faut 3 coordonnées pour se repérer : X, Y et Z généralement.
Dans un espace en 4D, il faut donc en toute logique 4 coordonnées, que je prendrais à W, X, Y, Z.

La dimension 4

Déjà, je vous dis que ce dont je parle n’est pas le temps.
Oui, en physique le temps est une dimension mais ce n’est pas pour cela que c’est le quatrième. Dans certaines théories des cordes, on utilise un espace-temps à onze dimensions, il y en aurait une de temps et dix d’espace.
Ce dont je parle ici, c’est réellement un espace à quatre dimensions spatiales, où chaque point est repéré par quatre coordonnées, et où le temps vient s’ajouter à tout ça. Ceci étant posé, la quatrième dimension, c’est quoi ? Comment le dessiner ? Le voir ? Notre espace étant en 3D, il n’est pas possible de faire une représentation rigoureuse d’un espace en 4D.
Il n’est pas possible de le dessiner, car un tel espace ne fait pas parti de notre monde. Pour autant, ce n’est pas pour ça qu’on ne peut pas faire des calculs avec. En mathématiques, on peut faire des calculs avec des objets ayant autant de dimensions que l’on veut. C’est difficile voire impossible à se représenter, mais les calculs, soient-ils abstraits, restent possibles. Pour essayer de s’imaginer ce qu’est la dimension 4, on peut partir de la dimension 2.
Prenons un papier avec un plan XY. On repère un point sur ce papier avec ses coordonnées X et Y. Maintenant, prenons plusieurs feuilles munies de repères et faisons un livre : le numéro de la page correspond alors à une nouvelle coordonnée Z. Un ver qui se trouve sur la première page et qui traverse le livre passe alors d’un plan à un autre. Pour le plan sur la première page, le ver possède une coordonnée au début, mais comme il traverse le livre, le ver finit par ne plus avoir de coordonnées sur le premier plan. Dit autrement, en dimension 2 sur la feuille, le ver est là à un moment (matérialisé par X et Y) puis il disparaît (il n’a plus de coordonnées du tout). Nous, qui observons le ver, voyons le ver passer d’un plan à un autre. Sa coordonnée Z évolue. Maintenant prenons plusieurs livres éparpillées sur une table. Chacun étant un empilement de plusieurs feuilles. Pour repérer le ver, il faut donc un X, un Y, ainsi qu’un Z, mais aussi une nouvelle coordonnée — W — qui renseigne sur l’identité du livre. Le ver ne peut évoluer que dans des livres, il ne peut donc pas passer sur la table et rejoindre un autre livre. Il est, comme nous, prisonnier des trois dimensions de l’espace. S’il pouvait évoluer dans la dimension 4, alors il disparaîtrait d’un livre pour se retrouver au milieu d’un autre. Tout comme il disparaissait d’un plan XY quand il évoluait selon l’axe Z, ici, il disparaît d’un espace XYZ quand il évolue dans la quatrième dimension W.
En gros, pour nous, un être de dimension 4 est capable de se téléporter d’un endroit à un autre : il disparaît un moment de notre espace puis revient ailleurs et un peu plus tard, sans qu’on puisse le voir se déplacer. Ce n’est pas de la science fiction, c’est simplement que nous, humains, sommes dans un espace à 3 dimensions et incapables de changer ça.
Selon certaines hypothèses et théories (dont les théories des cordes), étant données que la matière (atomes…) évolue dans nos 3 dimensions, s’il en existe d’autres, alors elles sont plus fines que la dimension des atomes, empêchant la matière de passer d’un endroit à un autre de l’espace par téléportation. On ne sait pas si d’autres dimensions existent, ni à quelles échelles. De grandes théories existent, mais il est difficile, et peut-être même impossible de les prouver… pour le moment.

Segment, carré, cube, hypercube !

Le segment, est la base en dimension 1.
Le carrée est la figure la plus régulière en base 2 : il est obtenu par duplication du segment puis en les reliant.
Le cube est la figure de base de la dimension 3 : on prend deux carrés parallèles qu’on relie point à point. L’hypercube ? Facile : on prend deux cubes et on les relie, sommet à sommet aussi. Comment s’imaginer ça ? Si on regarde un carré depuis un côté, alors un voit une simple arête : un segment.
En regardant un cube depuis un côté, on voit un carré. Maintenant, il faut imaginer qu’un cube c’est simplement un « côté » d’un hypercube. En faisant tourner (en dimension 4) l’hypercube, on peut voir un autre côté, donc un autre cube. Aussi, tout comme le cube est un assemblage de 6 carrés, l’hypercube est l’assemblage de 8 cubes :
le patron du tesseract
↑ Un hypercube déplié en 8 cubes (image)
Cependant… Ce que vous voyez là sur l’image, c’est bien un segment, c’est bien un carré mais ce n’est pas un cube et encore moins un hypercube. On voit une représentation en 2D (à plat) d’un cube.
Pourquoi est-ce différent ? Parce que par définition, le cube a ses faces de même forme et de même surface. Ce n’est pas le cas sur ce dessin. La perspective permet de mieux se représenter un objet d’une dimension supérieure dans une dimension inférieure, mais cette représentation n’est pas l’objet en lui-même.
Pour obtenir un vrai cube, il faut le sculpter et non plus le dessiner. L’hypercube ici, c’est encore pire : c’est un objet en 4D dessiné dans un plan en 2D. Si on essaye de faire une représentation en 3D, on obtient quelque chose comme l’Arche de la Défense, à Paris.
Mais cela reste encore une simple représentation : l’hypercube réel n’est pas comme ça : si on arrivait à voir en 4D, tous les cotés, faces, cubes seront de même longueur, surface, volume. Cet hypercube n’est qu’une représentation en 3D du véritable hypercube.
Tout comme on pourrait imaginer l’ombre d’un cube sur un plan (on verrait alors quelque chose comme le cube sur l’image ci-dessus), on peut voir l’Arche de la Défense comme la forme 3D représentant une ombre tridimensionnelle d’un hypercube.

Comment voir en 4D ?

Il n’est pas impossible de s’imaginer des choses en 4D voire en 5D, 6D… Je pense que la puissance de l’imagination est infinie de ce côté là. L’évolution ne nous a juste pas doté d’un besoin de voir en 4D, et donc rien de la 4D n’est intuitif. Ceci dit, il y a bien des choses qui ne soient pas innées et qu’on arrive à faire. Voir en 4D n’en est donc qu’une de plus. Si vous voulez vous y tenter, je vous propose le film réalisé par l’ENS de Lyon : Dimensions. C’est un film en licence CC et téléchargeable gratuitement. Il est aussi possible de commander un DVD. Vous pouvez aussi lire le livre Flatland, d’Abbott : il trace la vie d’un personnage vivant dans un plan 2D et qui est amené à passer quelques temps en 3D. L’auteur y invite finalement le lecteur, habitant d’un monde en 3D, de s’imaginer un univers en 4D.
Le livre date de 1884 et est donc tombé dans le domaine public depuis longtemps. Je vous en partage une édition ici : abbot_flatland.pdf. Je vous préviens quand même que le livre peut aussi être vu comme une critique de la société Victorienne (ce n’est donc pas juste un manuel de math). Flatland a aussi été adapté en deux films : Flatland et Flatland the film, ce dernier est en ligne sur Youtube. Je n’ai pas de méthode directe pour apprendre à imaginer un 4D, mais les deux méthodes décrites ici (dans Flatland et dans Dimensions) sont similaires : se mettre à la place de créatures en 2D voulant apprendre la 3D, puis transposer tout ça à nous : se mettre en 3D et voulant apprendre la 4D. Voilà d’autres explications (en anglais et en vidéo) : image de Procsilas Moscas (Cet article a initialement été publié sur Le Hollandais Volant. J’ai décidé de le déplacer ici, avec ses commentaires) Continue reading

Prise de décision : l’irrationalité à tous les étages

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decision
Vous vous croyez plutôt rationnel(le) ? Capable d’effectuer des choix de raison après avoir analysé en toute logique les tenants et les aboutissants ? Moi aussi — bienvenue au club — , jusqu’à la lecture troublante du bestseller international du prix Nobel d’Economie Daniel Kahneman : Thinking, Fast and Slow (2011). Plongée dans les résultats … Lire la suite de Prise de décision : l’irrationalité à tous les étages
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Séductions mathématiques

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Conversation avec Robin Jamet, médiateur scientifique, qui depuis une dizaine d’années vulgarise les maths à travers des animations face au public, des livres, des expositions, des podcast et la rubrique d’un magazine. Faire des maths c’est un peu comme escalader une montagne. Ça peut être dur, très dur même, mais c’est une aventure qui vaut … Continuer la lecture de Séductions mathématiques
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[Vidéo] L’Eurêkap #3 : l’actu scientifique de septembre 2016

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L’Eurêkap is back avec du robot mou, des canyons remplis de méthane, du tournesol qui tourne, de l’inconscient et des homonymes et bien plus encore ! Et pour ceux qui préfèrent lire (et veulent voir les sources, c’est même le principe de cette émission, m’voyez ; et si vous n’avez …
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